无穷级数：数项级数简介

引入

数项级数表示对于一个无穷序列的求和。在上册我们对数列有限项求和进行了讨论，并引入了单调有界收敛定理，柯西收敛定理等工具。然而，对于无穷项的求和，我们仍未给出过定义。

考虑等比数列

$$a_n = q^n$$

$$\sum^n{a_n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}$$

若要求无穷项的和，我们不妨对上式取极限

$$\sum^\infty{a_n} = \lim_{n \to \infty}{\frac{1 - q^{n+1}}{1-q}}$$

对$q$的取值进行讨论，我们可以得到

$$\sum^\infty{a_n} = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & |q| < 1 \\ \infty & |q| \geq 1 \end{cases}$$

我们定义：

部分和$S_n$ 为 $S_n = \sum^n{a_n}$

我们称一个级数收敛，且部分和的极限存在，即

$$\lim_{n \to \infty}{S_n} = S$$

否则，我们称级数发散。

我们称 $S - S_n$ 为级数的余项(Remaining Term)。记作 $r_n$。

收敛级数的性质

1. 若数列收敛，则

   $$\lim_{n \to \infty}{a_n} = 0$$

   这是一个必要条件，而不充分。

2. 收敛数列的线性组合仍然收敛。

3. 对于一个级数，添加或删除有限项，不会影响级数的敛散性。

4. 对于收敛的级数，对其项进行任意排列，级数仍然收敛。

柯西收敛准则

若

$$\sum_{k = n + 1}^{m}{a_k} \le \epsilon$$

对任意的 $ \epsilon > 0 $ 和 $ m > n > N $ 成立，则级数收敛。

积分判别法

数列可以看作函数曲线上的点列。对于级数的和，我们可以看作点列与坐标轴围成的，多个宽度为$1$的长方形的面积和。显然，这些面积和大于曲线与坐标轴所围成的面积，也就是说

$$\sum^{\infty} a_n \ge \int_{1}^{\infty} f(x) dx$$

这样，讨论反常积分收敛或发散即可。

当然，也可以使用一些方法使级数和向定积分放缩。

常见级数的敛散性

1. 典中点-调和级数

   $$\sum^{\infty} \frac{1}{n}$$

   是发散的。

   可以证明

   $$\sum^{\infty} \frac{1}{n} \ge \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{n}dx} = \ln\infty=\infty$$

2. 几何级数

   在引入中已经证明，几何级数是收敛的。

3. p-级数

   $$\sum^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

   当 $ p \le 1 $ 时，发散。（$p = 1$ 正是调和级数）

   当 $ p > 1 $ 时，收敛。

正项级数

正项级数是只有正项的级数（废话）。由于删除有限项不会影响级数的敛散性，有有限项负数的级数也作为正项级数考虑。下面介绍一些判断的工具。

单调有界收敛定理

由于正项级数每一项为正，所以部分和一定单调递增。于是有

比较判别法

直观上来讲，若一个级数每一项都比另一个级数大，其部分和一定超过另一个级数的部分和。反之亦然。所以

利用这个性质，我们可以对不好计算的级数进行放缩。例如

$ \sum^\infty \frac{3 + \sin^3(n+1)}{2n + n} \le \sum^\infty \frac{3 + 1}{2^n} \Rightarrow$ 收敛

达朗贝尔判别法

对于正项级数$a_n$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$$

$$\begin{cases} \rho < 1 & \sum a_n \text{收敛} \\ \rho > 1 & \sum a_n \text{发散} \\ \rho = 1 & \text{无法判断，需要进一步讨论.} \end{cases}$$

当级数项中出现乘方，阶乘等时，可以考虑使用达朗贝尔判别法。

柯西判别法

柯西判别法和上学期学的柯西收敛准则很像。对于正项级数$a_n$

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$$

$$\begin{cases} \rho < 1 & \sum a_n \text{收敛} \\ \rho > 1 & \sum a_n \text{发散} \\ \rho = 1 & \text{无法判断，需要进一步讨论.} \end{cases}$$

其实柯西判别法是比较判别法的一个推论，

$$a_n \le q^n \Leftrightarrow \sqrt[n]{a_n} \le q$$

接下来就是几何级数的讨论了。

积分判别法

这个定理是十分直观的。因为一堆长方形的面积总是大于曲线的面积。也可以视作比较判别法的推论。

任意项级数

任意项级数是指级数中的项可以为正，也可以为负。显然，如果所有项都是负的，那可以扔到正项级数里面处理。

如果级数$\sum^\infty |a_n| 收敛$，则称级数$\sum^\infty a_n$绝对收敛。如果不满足此条件，我们再判断级数的敛散性。此时我们称级数条件收敛，或发散。显然，对于正项级数，只有绝对收敛和发散。

交错级数和 Leibniz 判别法

$$\begin{cases} &\lim_{n \to \infty} |a_n| &= 0 \\ &a_n \ge a_{n+1} &\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sum^\infty a_n \text{收敛}$$

要证明这个结论，将相邻两项两两分组，然后套用单调收敛有界定理即可。满足此条件的级数，称为Leibniz级数。

绝对收敛的性质

1. 绝对收敛的级数一定收敛。
2. 绝对收敛的级数可以任意改变项的顺序，保持绝对收敛，和不变。注意，条件收敛不满足（见下）

Riemann 定理

若$\sum^\infty a_n$条件收敛，则对于任意的 $|S| \le \infty$，都可以通过改变项的顺序，使得级数的和为$S$（可以发散）。