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极限，和证明极限的工具

A1exlindev大约 3 分钟数学

极限，和证明极限的工具

基本概念

  • 事物被抽象成元素。事物的全体成为集合。
  • 元素用小写字母表示，集合则用大写字母表示。
  • 集合是无序的，所以重复的元素没有意义。

所以数列和数集还是有区别的qwq

集合的交并补在高中介绍过了捏。

  • 两个集合的直积产生有序数对的集合，也就是

A⋅B={(x,y)∣x∈A,y∈B} A \cdot B = \{(x,y)|x\in A , y\in B \}

R⋅RR \cdot R表示实平面上的所有点

在 ε 与 δ 之前

不等式是用于证明，计算极限的有力工具。

绝对值不等式

−∣a∣≤a≤∣a∣{∣x∣≤a⇔−a≤x≤a∣x∣≥a⇔x≤−a或x≥a(a>0) -|a| \le a \le |a| \\ \left\{ \begin{array}{l} |x| \le a \lrArr -a \le x \le a \\ |x| \ge a \lrArr x \le -a 或x \ge a &{(a>0)} \end{array} \right.

由上述结论我们可以导出三角形不等式。

∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ \big||a| - |b|\big| \le |a +b| \le |a| + |b|

两边之和大于等于第三边 ，两边之差小于等于第三边。这里看作“三角形”的三个顶点都在一条直线上。

伯努利不等式

从二项式定理可以推出

(1+x)n≥1+nx (1+x)^n \ge 1 + nx

均值不等式

1n∑nxi≥∏nxin \frac1n \sum^{n}{x_i} \ge \sqrt[n]{\prod^n x_i}

几何平均值小于算术平均值。

来自柯西的证明

考虑n=2n=2时

x1+x2≤x1+x22 \sqrt {x_1 + x_2} \le \frac{x_1 + x_2}{2}

考虑n=4n=4时 （向前两步)

∑4xi4=12(x1+x22+x3+x42) \frac {\sum^4 x_i}{4} = \frac12(\frac{x_1+x_2}2 + \frac{x_3+x_4}2)

≥(x1+x22⋅x3+x42) \ge \sqrt{(\frac{x_1+x_2}2 \cdot \frac{x_3+x_4}2)}

≥x1x2⋅x3x4 \ge \sqrt{\sqrt {x_1 x_2} \cdot \sqrt {x_3 x_4}}

由此，当n=2k时n=2^k时，都能够成立. 接下来考虑n=2k+1n=2^{k+1}的时候

12k+1∑i=12k+1xi \frac1{2^{k+1}}\sum^{2^{k+1}}_{i=1}x_i

将求和分成前后两半

=12(12k∑i=12kxi+12k∑i=2k+12k+1xi) = \frac12\left( \frac1{2^{k}}\sum^{2^k}_{i=1}x_i + \frac1{2^{k}}\sum^{2^{k+1}}_{i=2^k+1}x_i \right)

≥(12k∑i=12kxi⋅12k∑i=2k+12k+1xi)2333(n=2时的结论) \ge \sqrt{\left( \frac1{2^{k}}\sum^{2^k}_{i=1}x_i \cdot \frac1{2^{k}}\sum^{2^{k+1}}_{i=2^k+1}x_i \right)}\phantom{2333}(n=2时的结论)

≥x1⋅x2⋯x2k2k⋅x2k+1⋯x2k+12k2333(n=2k时的结论) \ge \sqrt{\sqrt[2^k]{x_1\cdot x_2\cdots x_{2^k}} \cdot \sqrt[2^k]{x_{2^{k}+1}\cdots x_{2^{k+1}}}}\phantom{2333}(n=2^k时的结论)

≥⋯≥∏2k+1xi2k+1 \ge \cdots \ge \sqrt[2^{k+1}]{\prod^{2^{k+1}}x_i}

接下来 我们证明，当n成立时，n-1也成立。（向后一步)

1n−1∑i=1n−1xi=(n−1)+1(n−1)n⋅∑i=1n−1xi \frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i = \frac{(n-1)+1}{(n-1)n}\cdot \sum^{n-1}_{i=1}x_i

=1n(∑i=1n−1xi+1n−1∑i=1n−1xi)=1n(∑i=1n−1xi+xn)⋯ =\frac1n(\sum^{n-1}_{i=1}x_i+\frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i) = \frac 1n \left(\sum^{n-1}_{i=1}x_i+x_n \right) \cdots

这一步的意义在于，（取）添入一项

xn=1n−1∑i=1n−1xi x_n = \frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i

既使得算术平均值不变，又令总项数增多一项，可以使用已知的结论。

⋯=1n∑i=1nxi≥x1x2x3⋯xn−1xnn \cdots\\=\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}x_i \ge \sqrt[n]{x_1x_2x_3\cdots x_{n-1}x_n}

=x1x2x3⋯xn−1⋅1n−1∑i=1n−1xin =\sqrt[n]{x_1x_2x_3\cdots x_{n-1}\cdot\frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i}\\

⇒(1n−1∑i=1n−1xi)n≥x1x2x3⋯xn−1(1n−1∑i=1n−1xi) \rArr \left(\frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i\right)^n \ge x_1x_2x_3\cdots x_{n-1}\left( \frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i \right)

这里用到了算术平均值相同的结论！

⇒(1n−1∑i=1n−1xi))n−1≥x1x2⋯xn−1 \rArr \left(\frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i)\right)^{n-1} \ge x_1x_2\cdots x_{n-1}

⇔1n−1∑i=1n−1xi≥x1x2⋯xn−1n−1 \lrArr \frac{1}{n-1}\sum^{n-1}_{i=1}x_i \ge \sqrt[n-1]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}

至此，整个正数被填满了。

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贡献者: Alexlin625